第七章 塔斯基問(wèn)題（圖論）

　　畫(huà)圓為方，數(shù)學(xué)家從沒(méi)停止研究，只是不是原來(lái)的樣子。

　　大約公元前450年，安那克薩哥拉斯終于有了靜下來(lái)思考的時(shí)間。這位哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家的古希臘人聲稱(chēng)太陽(yáng)不是神，而是和羅奔尼撒半島一樣大的熾熱巖石。安那克薩哥拉斯因此被打入大牢。作為信奉“理性統(tǒng)治世界”的哲學(xué)家代表，他在獄中著手思考解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。這就是著名的化圓為方問(wèn)題：用圓規(guī)和無(wú)刻度的尺子作一個(gè)和已知圓一樣大的正方形。

　　安那克薩哥拉斯的本來(lái)的那個(gè)問(wèn)題其實(shí)在1882年就解決了。德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼用一套經(jīng)典方法證明了尺規(guī)作圖化圓為方是不可能的。他證明了圓周率π是超越數(shù)。但是尺規(guī)作圖是不可能做出超越數(shù)的線段長(zhǎng)度的，所以證明了問(wèn)題的不可能性。

　　問(wèn)題并沒(méi)有因此終結(jié)，意外的是，數(shù)學(xué)家們還在這個(gè)問(wèn)題上工作著。1925年數(shù)學(xué)家塔爾斯基喚醒了這個(gè)問(wèn)題，他修改了原始問(wèn)題的規(guī)則：如果把圓分成完全相同的有限多塊，這些小塊是否能重新拼成一個(gè)面積相同的圓呢？這樣的問(wèn)題有個(gè)統(tǒng)一的名字，叫做等體分解。

　　換句話說(shuō)，如果兩個(gè)物體可以分解成大小和形狀完全同部分，那么這兩個(gè)物體就是同等體分解的。更精確的說(shuō)，如果兩個(gè)物體能分解成有限多個(gè)部分，每個(gè)部分完全一致，那么就說(shuō)這兩個(gè)物體就是同等體分解的。

　　1964年的一篇論文讓塔爾斯基版本的化圓為方問(wèn)題有了第一次實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展。論文的結(jié)論是，用剪刀是無(wú)法完成化圓為方的等體分解。著意為著，如果要解決這個(gè)問(wèn)題，可能需要把圓分解成更復(fù)雜的分型：一種可能布滿小洞或者無(wú)限鋸齒的形狀。

　　1990年，數(shù)學(xué)家拉茨科維奇(Miklós Laczkovich)響亮的從正面解決了塔爾斯基的問(wèn)題：塔爾斯基的化圓為方問(wèn)題是成立的。

　　拉茨科維奇證明的是，用一種復(fù)雜和非常規(guī)的圖形對(duì)圓進(jìn)行分解，用不超過(guò)10的50次方個(gè)小塊進(jìn)行移動(dòng)(連旋轉(zhuǎn)都不用)，這些小塊就能重新拼成正方形。

　　但是拉茨科維奇不直接操作幾何圖形而得到這個(gè)結(jié)果的。實(shí)際上，他把原本的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了圖論問(wèn)題。用兩個(gè)頂點(diǎn)集合，一個(gè)集合對(duì)應(yīng)圓，一個(gè)幾何對(duì)應(yīng)正方形，然后之間建立兩個(gè)頂點(diǎn)集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而完成的證明。

　　有數(shù)學(xué)家認(rèn)為，拉茨科維奇的結(jié)果讓人“瞠目結(jié)舌”，拉茨科維奇向大家展示了如何“把一個(gè)圓的掰成直的”。

　　拉茨科維奇的證明還有一個(gè)瑕疵。這個(gè)證明是存在性證明，在數(shù)學(xué)界被稱(chēng)為“非構(gòu)造性證明”。他證明了事情可以辦到，但沒(méi)有給出分解的具體辦法來(lái)說(shuō)明如何辦到。更讓人不爽的是，分解的小塊是“不可測(cè)的”，這意味著這些小塊的面積不存在。

　　幾十年后的2016年，格拉博斯基(?ukasz Grabowski)，瑪斯(Andras Máthé)以及皮胡爾科(Oleg Pikhurko)共同撰寫(xiě)的論文讓這個(gè)問(wèn)題又有了重大進(jìn)展。和拉茨科維奇的論文不同，證明幾乎是構(gòu)造性的，就是說(shuō)分解的每一個(gè)小塊都有明確的描述。但還是有一個(gè)瑕疵：把圓分解成的小塊并沒(méi)有填充滿正方形的全部，還有很小很小的一部分沒(méi)有填充。這沒(méi)有填充的部分面積是零，數(shù)學(xué)家稱(chēng)為“零測(cè)度集”。

　　盡管還是沒(méi)做到完全覆蓋，但也是這個(gè)問(wèn)題的重大進(jìn)步——除了一個(gè)零測(cè)度集合，我們按塔爾斯基的規(guī)則成功的用構(gòu)造性的方法化圓為方。

　　一年后，加州大學(xué)的馬克斯( Andrew Marks)和多倫多大學(xué)的安格(Spencer Unger)在這個(gè)問(wèn)題上有取得重大進(jìn)展，他們第一次用完全構(gòu)造性的方法證明了塔爾斯基版本的化圓為方——而且是完整的拼成，沒(méi)有任何多余部分。論文完整描述了如果把圓分成小塊，然后重新拼成一個(gè)等體積的正方形，不再有多余的零測(cè)度集合。

　　這一次分成的小塊更多，需要大約10的200次方塊，每一個(gè)小塊的結(jié)構(gòu)依然很復(fù)雜。論文作者認(rèn)為，這是一個(gè)缺陷，因?yàn)檫@些小塊要站在數(shù)學(xué)家的立場(chǎng)才能理解，很難用形象的方式展示出來(lái)。

　　這就留下了改進(jìn)的空間，用更少數(shù)量的小塊，或者更簡(jiǎn)單的形狀的小塊。數(shù)學(xué)家并沒(méi)有停止探索，他們已經(jīng)用計(jì)算機(jī)做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，據(jù)說(shuō)22塊就可以，但目前還沒(méi)有給出這個(gè)的證明。