第七十三章 不一樣的算法
“沒(méi)問(wèn)題老師,但林老師讓我今天晚上去他那里講講競(jìng)賽試題,所以今天晚上恐怕沒(méi)時(shí)間。
而且,要是今天晚上講不完的話,可能明天晚上還要去一趟?!壁w賢才道。
“沒(méi)事,這事不急,就算你進(jìn)了省隊(duì),這距離去參加CMO還有段時(shí)間呢。
而且你在林老師他們那邊說(shuō)了一遍之后,再到班里來(lái)講,肯定也能講得更好?!?p> 見(jiàn)趙賢才答應(yīng)下來(lái),方遒便笑著說(shuō)道。
方遒和趙賢才沒(méi)聊幾句,這晚自習(xí)的預(yù)備鈴也打響了,趙賢才也離開(kāi)了教室。
……
“……已知正三棱錐P-ABC底面邊上為1,高為√2,問(wèn)其內(nèi)切球半徑是多少。
這第四題不用講了吧?
我們初賽解答題第一題和這題一模一樣,連邊長(zhǎng)都一樣,就是這個(gè)高改了一下,而且我們幾個(gè)的答案也都一樣。
當(dāng)初初賽的時(shí)候,我做這題心里就還在想,這題就算是出在填空題上,直接讓你求內(nèi)切球的半徑都沒(méi)啥,沒(méi)想到在這聯(lián)賽上還真就出了?!?p> 晚上晚自習(xí)的時(shí)候,趙賢才和季興磊還有林老師他們都在一間教室里,趙賢才正和他們說(shuō)著聯(lián)賽的試題。
“嗯,這題確實(shí)和初賽解答題的第一題一模一樣。
你們其他人這題都沒(méi)什么問(wèn)題吧?
這題就不用講了,你接著往下講吧?!?p> 聽(tīng)趙賢才說(shuō)完這題的題干之后,林廣強(qiáng)便感覺(jué)這題怎么這么熟悉。
而等趙賢才說(shuō)完,林廣強(qiáng)也記起來(lái),這題不就是初賽上的原題嗎?
“第5題是設(shè)a,b為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=ax+b滿足:對(duì)任意x∈[0,1],有丨f(x)丨≤1,問(wèn)ab的最大值是多少。
這題我是通過(guò)ab=f(0)·(f(1)-f(0))=-(f(0)-f(1)/2)2+(f(1))2/4≤(f(1))2/4≤1/4來(lái)求的,填空題我們之前還只對(duì)了答案,還沒(méi)有聊都是怎么寫(xiě)的呢。
你們也是用這個(gè)方法嗎?”
說(shuō)到這里的時(shí)候,趙賢才又看向了季興磊他們。
“我這題用的方法和你的一樣?!?p> “我這題寫(xiě)錯(cuò)了?!?p> “欸,我這題用的不是這種方法,不過(guò)最后結(jié)果算出來(lái)和你一樣,都是1/4?!?p> 鄭文儀用的方法和趙賢才一樣,季興磊這題做錯(cuò)了。
最后說(shuō)這題用的方法和趙賢才不一樣,是張景強(qiáng)。
一聽(tīng)張景強(qiáng)這么說(shuō),趙賢才也是來(lái)了興趣,對(duì)他問(wèn)道:“你用的什么方法?”
這就是雖然聯(lián)賽試題趙賢才全部都寫(xiě)完了,也覺(jué)得自己能拿滿分,但還是同意給他們講的原因之一。
俗話說(shuō)三個(gè)臭皮匠頂個(gè)諸葛亮,與其他人交流,也能給趙賢才帶來(lái)更多解題思路,畢竟一個(gè)人的能力再怎么樣都是有限的。
“我是這么想的,既然|f(x)|=|ax+b|≤1,那么就有-1≤ax+b≤1,當(dāng)x等于1的時(shí)候,就有-1≤a+b≤1。
然后再根據(jù)基本不等式√ab≤(a+b)/2,就有0≤ab≤(a+b)2/4=1/4。
所以,ab的最大值就是1/4?!?p> 張景強(qiáng)和趙賢才說(shuō)了一下自己的解題過(guò)程。
聽(tīng)張景強(qiáng)說(shuō)完之后,趙賢才感覺(jué)哪里不對(duì)勁,但一時(shí)卻又說(shuō)不上來(lái)。
“怎么了?他這解法有什么問(wèn)題嗎?”
一旁的鄭文儀見(jiàn)趙賢才不說(shuō)話,便問(wèn)道。
“好像是有點(diǎn)問(wèn)題,但哪里有問(wèn)題我又說(shuō)不上來(lái)。
林老師,您看出來(lái)張景強(qiáng)這題哪里有什么問(wèn)題了嗎?還是我想多了?”
趙賢才和鄭文儀說(shuō)完,又對(duì)林廣強(qiáng)問(wèn)道。
林廣強(qiáng)不愧當(dāng)了這么多年的老師,見(jiàn)多識(shí)廣,一下子就看出來(lái)張景強(qiáng)這題哪里不對(duì)經(jīng)了。
“他在0≤ab≤(a+b)2/4=1/4那一塊有問(wèn)題。
張景強(qiáng),我問(wèn)你,基本不等式的定義是什么?”
林廣強(qiáng)對(duì)張景強(qiáng)說(shuō)道,他并沒(méi)有直接點(diǎn)出來(lái)張景強(qiáng)這個(gè)解題過(guò)程究竟出了什么問(wèn)題。
“就是√ab≤(a+b)/2???
證明過(guò)程我都記得呢,因?yàn)?√a-√b)^2≥0,所以a-2√ab+b≥0,然后就有a+b≥2√ab,最后有√ab≤(a+b)/2。”
張景強(qiáng)還沒(méi)意識(shí)到自己哪里錯(cuò)了,一臉自信的說(shuō)道。
“哦~~~我知道了哪里不對(duì)經(jīng)了,剛剛被張景強(qiáng)給帶進(jìn)去了,一時(shí)沒(méi)想到這個(gè)問(wèn)題。
張景強(qiáng),我問(wèn)你,如果ab是一正一負(fù)或者是兩個(gè)負(fù)數(shù)呢?”
“一正一負(fù)?
哎呀,這給我忘了,基本不等式的前提是兩個(gè)正實(shí)數(shù)了。”
“基本不等式的表述為,兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)。
我相信你們數(shù)學(xué)老師上課的時(shí)候,應(yīng)該也都強(qiáng)調(diào)過(guò)了吧,在使用基本不等式的時(shí)候,一定要記住兩個(gè)式子都要是正數(shù)。
張景強(qiáng),你這么馬虎可不行,高考的時(shí)候要是因?yàn)檫@點(diǎn)小問(wèn)題出了事,那很有可能就和你想去的學(xué)校擦肩而過(guò)了?!?p> 林廣強(qiáng)語(yǔ)氣嚴(yán)厲的和張景強(qiáng)說(shuō)道,張景強(qiáng)的成績(jī)?cè)诔少t一中的高三年級(jí)里,雖然算不上前三,但那也是經(jīng)常進(jìn)全年級(jí)前十的。
這次居然犯了這么低級(jí)的錯(cuò)誤,雖然因?yàn)檫\(yùn)氣好,最后答案是對(duì)了,但他身為教過(guò)張景強(qiáng)一段時(shí)間數(shù)學(xué)的老師,該說(shuō)還是要說(shuō)的。
“記得記得,當(dāng)時(shí)我們老師還和我們說(shuō),在使用基本不等式的時(shí)候,要牢記‘一正’‘二定’‘三相等’這個(gè)七字真言呢。
‘一正’就是指兩個(gè)式子都為正數(shù),‘二定’是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),和或積為定值,‘三相等’是指當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)式子相等時(shí),才能取等號(hào)。
但我當(dāng)時(shí)把這茬給忘了?!?p> 見(jiàn)林廣強(qiáng)語(yǔ)氣變得嚴(yán)肅,張景強(qiáng)也是連忙說(shuō)道。
“可是,為什么張景強(qiáng)這題做出來(lái)的答案會(huì)和趙賢才的一樣?”
一旁的季興磊有些奇怪的問(wèn)道。
而此時(shí)的趙賢才,也開(kāi)口解答了季興磊的疑惑。
“其實(shí)這題用這種方法的確沒(méi)什么問(wèn)題,只不過(guò)他少了幾個(gè)步驟。
既然這題是讓求ab的最大值,那么a和b肯定要么都是正數(shù),要么都是負(fù)數(shù),不可能是一正一負(fù)。
因?yàn)槿绻且徽回?fù)的話,ab乘積就是負(fù)數(shù),不可能是最大值。。
如果是他它們都是正數(shù)的話,這過(guò)程就不用改。
如果都是負(fù)數(shù)的話,也可以用-a=t,-b=w來(lái)往后算……”
“哦,原來(lái)是這樣?!?p> “難怪呢,你小子運(yùn)氣真好。”
“好了,這一題大家也搞明白了,那下一題吧。
后面這幾道填空題難度都有所提升了吧?
我記得中午鄭文儀和我說(shuō)的時(shí)候,就說(shuō)她第六題雖然答案和趙賢才的一樣,但她的答案卻是猜的。
而且鄭文儀第七題取值范圍還算錯(cuò)了,第八題又直接跳過(guò)。
所以,這后面的你們更要好好聽(tīng)?!?