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埼玉的世界旅行

V-Logic的Tableaux系統(tǒng)

埼玉的世界旅行 史柏卿 1480 2024-04-14 19:22:29

  在本文中,我介紹了一個(gè)用于無(wú)窮邏輯的表系統(tǒng),例如所謂的V邏輯(Arrigoni和Friedman,2013)。

  這個(gè)邏輯允許公式長(zhǎng)度小于κ,其中κ是一個(gè)大基數(shù),但只有有限個(gè)前面的量詞。

  雖然它已經(jīng)有了一個(gè)證明系統(tǒng),一個(gè)新的表格系統(tǒng)應(yīng)該有助于闡明這種邏輯是如何工作的。

  這個(gè)新的tableaux系統(tǒng)可以適應(yīng)所有可能的“V邏輯”,只要數(shù)量公式中允許的量詞的數(shù)量是有限的。

  這是因?yàn)橐?guī)則是與公式的長(zhǎng)度無(wú)關(guān),一旦允許使用不定式。

  除了使用tableaux系統(tǒng)的已知優(yōu)勢(shì)之外,這樣的變化應(yīng)該使我們能夠更好地研究這類的完整性問(wèn)題并最終幫助我們發(fā)展基于他們無(wú)窮邏輯主要是由Barwise(1975)在70年代發(fā)展起來(lái)的和Keisler(1971)。

  特別是V邏輯,最早出現(xiàn)在Barwise(1969)作為M-邏輯,是一種不定式語(yǔ)言是一種有一定證明的不定式語(yǔ)言使其在調(diào)查問(wèn)題時(shí)特別有用的理論機(jī)器在集合論中。

  因此,弗里德曼選擇發(fā)展所謂的超宇宙——一種基于V邏輯的集合論的多元宇宙(Arrigoni和Friedman,2013)。

  設(shè)κ是一個(gè)不可訪問(wèn)的基數(shù)。

  定義了不定式語(yǔ)言Lκ,ω來(lái)自通常的一階語(yǔ)言,但帶有不定式連詞(VΦ,其中Φ是一組公式)和長(zhǎng)度小于κ的析取(WΦ)。

  然而,前面允許有限數(shù)量(即小于ω)的量詞的公式。

  從這種語(yǔ)言中,我們可以定義V-邏輯本體,通過(guò)定義一種語(yǔ)言LV,添加以下(i)一個(gè)新的一元關(guān)系符號(hào)五、,表示地面宇宙和(ii)κ新常數(shù)w0,wκ、對(duì)于宇宙的延伸。

  由于κ的選擇不會(huì)顯著影響語(yǔ)言,因此框架允許引入非常強(qiáng)的無(wú)窮大邏輯Lκ,ω,其中k是例如。

  一個(gè)Mahlo,甚至是一個(gè)可衡量的大基數(shù)。唯一相關(guān)的區(qū)別是雖然一些這樣的邏輯是完整的,但其他的則不是(有關(guān)詳細(xì)信息,請(qǐng)參閱Dickman(1975))。

  此外,如果我們解釋新的常數(shù)五、在集合論的術(shù)語(yǔ)中,即。

  作為一個(gè)強(qiáng)迫擴(kuò)展的基本宇宙,那么這個(gè)大基數(shù)也定義了宇宙有多“高”。

  為了建立V邏輯的模型,我們首先需要定義一些關(guān)鍵的性質(zhì)即其一致性屬性。

  一致性屬性是具有某些性質(zhì)的可數(shù)句子集的集合S。

  這個(gè)定義最初由Keisler(1971)提出,后來(lái)由Barwise(1975)修訂,以及需要證明模型存在定理。

  例如,最簡(jiǎn)單的V邏輯的可能一致性性質(zhì)是所有可數(shù)集的集合LV的句子的s,使得s有一個(gè)模型a,其域都是新的在語(yǔ)言中添加的常量。

  遵循Barwise,對(duì)于這些屬性,我們也添加一些關(guān)于等式的規(guī)則(因?yàn)槲覀兊哪繕?biāo)是將V邏輯應(yīng)用于集合論)。

  我現(xiàn)在介紹一個(gè)V-logic的tableaux系統(tǒng),如下所示。

  一個(gè)tableaux系統(tǒng)這將是這種邏輯最好的證明系統(tǒng),因?yàn)樗鼤?huì)完美地表達(dá)了語(yǔ)法和語(yǔ)義之間的聯(lián)系。

  首先該系統(tǒng)的定義非常簡(jiǎn)單:遵循Barwise的發(fā)展在V-邏輯中,我們改變了樹(shù)成員屬性中的一致性屬性。

  例如,在不進(jìn)行過(guò)多詳細(xì)說(shuō)明的情況下,考慮一致性屬性中的第一個(gè),平凡性規(guī)則。

  這個(gè)規(guī)則說(shuō)明0∈S,并且如果s?s′∈s,則對(duì)于每個(gè)?!蕇′,s∈{Γ}∈s,其中S是S的集合,每個(gè)S∈S是V邏輯的一組句子。

  簡(jiǎn)單地將其轉(zhuǎn)換為樹(shù)定義對(duì)于tableaux系統(tǒng),我們定義S為證明樹(shù),每個(gè)S為其分支。

  其他一切都遵循Barwise的體系。

  在這個(gè)表系統(tǒng)中,所有的結(jié)果都證明了原來(lái)的V-邏輯模型存在性定理、V-完全性定理與省略型定理,也可以證明。

  此外,我們還可以應(yīng)用確定性技術(shù)來(lái)證明以下定理:

  定理1。

  設(shè)Γ?N在V-邏輯中,V是一個(gè)證明。

  這個(gè)證明也是公開(kāi)的游戲則它的確定性在ZF C的模型之間是絕對(duì)的。

  這種V邏輯的“游戲化”在一個(gè)

  集合論的多元宇宙概念。

  特別是,這可能是一個(gè)優(yōu)勢(shì)有助于V邏輯多元宇宙的構(gòu)建。

  參考文獻(xiàn)

  Arrigoni,T.和S.Friedman(2013)?!俺钪嬗?jì)劃”。

  在:公告

  符號(hào)邏輯19.1,第77-96頁(yè)。

  Barwise,Jon(1969)。

  “無(wú)窮邏輯與可容許集”。

  在:The Journal of

  符號(hào)邏輯34.2,第226–252頁(yè)。

  --(1975年)。

  可容許集合和結(jié)構(gòu)。

  施普林格,柏林。

  Dickmann,Maximo Alejandro(1975)。

  大型不定式語(yǔ)言:模型理論。

  紐約,紐約。

  Keisler,H Jerome(1971)。

  無(wú)限邏輯的模型理論。

  北荷蘭,阿姆斯特丹。

  

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