摘要：本文探討了?-Zermelo中的邏輯帶有選擇的Fraenkel集合論（ZFC）。
二者之間的范疇對(duì)偶余代數(shù)和代數(shù)允許ZFC的布爾值代數(shù)模型被解釋為煤焦。
的模態(tài)輪廓?-邏輯有效性可以然后在一個(gè)代數(shù)邏輯中得到支持，以及?-邏輯有效性可以通過確定性自動(dòng)機(jī)來定義。
我認(rèn)為哲學(xué)上述內(nèi)容的意義有兩個(gè)方面。
首先，因?yàn)檎J(rèn)識(shí)論和的模態(tài)輪廓?-邏輯有效性與二階有效性相對(duì)應(yīng)邏輯結(jié)果，?-邏輯有效性是真正合乎邏輯的。
第二前面提供了對(duì)數(shù)學(xué)解釋的模態(tài)說明詞匯。
1簡介
本文考察了結(jié)果關(guān)系的哲學(xué)意義在中定義?-集合論語言的邏輯。
我認(rèn)為，和第二個(gè)一樣秩序邏輯，有效性的模態(tài)輪廓?-邏輯使屬性在認(rèn)識(shí)上易于處理。
由于余代數(shù)和代數(shù)之間的對(duì)偶性集合論的布爾值模型可以被解釋為余代數(shù)。
在里面第2節(jié)，我演示了?-邏輯有效性可以是在一個(gè)coargebraic邏輯中，以及如何?-邏輯有效性可以進(jìn)一步通過自動(dòng)機(jī)定義。
最后，在第3節(jié)中的模態(tài)輪廓的表征?-哲學(xué)的邏輯有效性數(shù)學(xué)考試。
我認(rèn)為?-邏輯有效性是真正合乎邏輯的，以及（ii）它提供了對(duì)“集合”概念的形式把握的模態(tài)描述。
第4節(jié)提供結(jié)論性意見。
2定義
在這一節(jié)中，我定義了Zermelo-Frenkel集合論的選擇公理。
我定義了大基數(shù)公理的數(shù)學(xué)性質(zhì)，它可以與ZFC相鄰，我提供了特性的詳細(xì)表征屬于?-ZFC的邏輯。
因?yàn)橛啻鷶?shù)是布爾值代數(shù)的對(duì)偶的型號(hào)?-邏輯，然后刻畫了一類代數(shù)邏輯建模模態(tài)邏輯和確定性自動(dòng)機(jī)。
模態(tài)代數(shù)模型的自動(dòng)機(jī)提供了模態(tài)的精確表征以及?-邏輯有效性。
2.1 Axioms1
? Extensionality
?x，y.(?z.z∈x?? z∈y)→ x = y
? Empty Set
?x.?y.y∈/x
? Pairing
?x，y.?z.?w.w∈z?? w = x∨ w = y
? Union
?x.?y.?z.z∈y???w.w∈x∧ z∈w
? Powerset
?x.?y.?z.z∈y?? z? x
? Separation (with?→x a parameter)
??→x，y.?z.?w.w∈z?? w∈y∧ A(w，?→x )
? Infinity
?x.?∈x∧?y.y∈x→ y∪{y}∈x
? Foundation
?x.(?y.y∈x)→?y∈x.?z∈x.z∈/y
? Replacement
?x，?→y .[?z∈x.?!w.A(z，w，?→y )]→?u.?w.w∈u???z∈x.A(z，w，?→y )
? Choice
?x.?∈/x→?f∈(x→∪x).?y∈x.f(y)∈y
2.2大基數(shù)
實(shí)數(shù)的Borel集是ωω或R，在可數(shù)交集下閉合和并集。
2對(duì)于所有序數(shù)，a，使得0＜a＜ω1，并且b＜a，∑0a表示ω的開子集在π0中集合的可數(shù)并集下形成的ωb，和π0一表示ω的閉子集ω在∑的可數(shù)交集下形成0b。
實(shí)數(shù)的投影集是ωω、由互補(bǔ)（ωω–u、對(duì)于u?ωω）投影[p（u）={?x1，…，xn?∈ωω|?y?x1，xn，y∈u｝]。
對(duì)于所有的序數(shù)a，使得0＜a＜ω，π10表示ω的閉子集ω；π1一是通過取ω的開子集的補(bǔ)集而形成的ω、∑1.一；和∑1.a+1是由π1中集合的投影形成一。
全冪集運(yùn)算定義了集的累積層次結(jié)構(gòu)V，例如V0=?；Va+1=?（V0）；和Vλ=a＜λVa。
在內(nèi)部模型程序中（參見Woodin，200120102011；Kanamori，2012，a，b），可定義的冪集運(yùn)算定義了可構(gòu)造的宇宙，L（R），在集合V的宇宙中，其中集合是可傳遞的，使得a∈C?? a?C；L（R）=Vω+1；La+1（R）=Def（La（R））；且Lλ（R）=a＜λ（La（R））。
通過內(nèi)部模型，G?del（1940）證明了廣義連續(xù)體假說，?一?a=?a+1，以及選擇公理，相對(duì)于ZFC的公理。
然而，對(duì)于序數(shù)的可數(shù)傳遞集MZF的一個(gè)模型沒有選擇，可以定義一個(gè)泛型集G，這樣，對(duì)于所有公式，ξ，或者是，都是由G中的條件f強(qiáng)制的。
設(shè)M[G]=a＜κMa[G]，使得M0[G]={G}；其中λ＜κ，Mλ[G]=a＜λMa[G]；和Ma+1[G]=Va?Ma[G].3G是M上的Cohen實(shí)，它包含一個(gè)集強(qiáng)迫集合力的關(guān)系，?，可以在地上定義模型M，使得強(qiáng)迫條件f是ω轉(zhuǎn)化為{0，1}，并且如果f（u）=1則f?u∈G，如果f（u）=0則f⊕u∈/G。
基數(shù)開放稠密地面模型的M和一般擴(kuò)展G是相同的，僅當(dāng)滿足可數(shù)鏈條件（c.c.c.），使得給定一個(gè)鏈-即，偏序（自反、反對(duì)稱，傳遞）集&存在一個(gè)可數(shù)的、最大的反鏈，由成對(duì)的不兼容的強(qiáng)制條件。
通過集強(qiáng)制擴(kuò)展，Cohen（19631964）構(gòu)造了ZF模型，該模型否定了廣義連續(xù)體假設(shè)，從而證明了它相對(duì)于ZF公理的獨(dú)立性G?del（1946/1990：1-2）提出，Orey句子的價(jià)值如果有人利用更有力的理論，新的無窮大公理——即大基數(shù)公理——是鄰接的。
5他寫道：“在集合論中，例如，連續(xù)擴(kuò)展可以用更強(qiáng)和更強(qiáng)的無窮大公理。
當(dāng)然不可能給出一個(gè)組合以及關(guān)于什么是無窮大公理的可判定的特征；但是可能存在，例如，以下類型的特征：無窮大公理是具有某種（可判定的）形式結(jié)構(gòu)并且在加法是正確的。
這種可證明性的概念可能具有所需的閉包性質(zhì)，即以下可能為真：集合論的任何證明在集合論之上的下一個(gè)更高系統(tǒng)中的定理。
可由證明替換從這樣一個(gè)無窮大的公理。
對(duì)于這樣一個(gè)概念可證明性——一個(gè)完整性定理會(huì)成立，它會(huì)說集合論中可表達(dá)的每一個(gè)命題都可由現(xiàn)有公理加判定關(guān)于集合宇宙的大性的一些真實(shí)斷言。
對(duì)于基數(shù)，x，a，C，C?a在a中是無界閉的，如果它是閉的[如果x＜C和則a∈C]和無界（C=a）（Kanamori，同前：360）。
基數(shù)S在A中是靜止的，如果，對(duì)于任何閉無界C?A，CüS?=?（同前）。
理想是在可數(shù)并集下閉合的集合的子集，而濾波器是在可數(shù)交集下閉合的子集（361）。
基數(shù)κis正則ifκ的共尾性由具有基數(shù)的集合的并集組成小于κ–與κ相同。
不可計(jì)數(shù)的正則極限基數(shù)是弱的不可訪問的（同前）。
強(qiáng)不可訪問基數(shù)是正則的，具有強(qiáng)極限，使得如果λ＜κ，則2λ＜κ（同前）。
大基數(shù)公理是由初等嵌入定義的，
因此可以定義嵌入。
對(duì)于模型A、B和條件ξ、j:A→ B
ξ?a1，A中的an當(dāng)且僅當(dāng)Γ?j（a1），j（an）?在B（363）中。
可測量基數(shù)被定義為由j的臨界點(diǎn)crit（j）（Koellner和Woodin，2010:7）。
可測量基數(shù)是不可訪問的（Kanamori，同前）。
設(shè)κ為基數(shù)，η＞κ為序數(shù)。
κ則η-強(qiáng)，如果存在傳遞類M與初等嵌入j:V→ M、使得crit（j）=κ、 j（κ）＞η和Vη?M（Koellner和Woodin，同前）。
κ是強(qiáng)的當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于所有η，它是η-強(qiáng)的（同前）。
如果A是一個(gè)類，κ是η-A-強(qiáng)，如果存在j:V→ M、使得κ是η-強(qiáng)
和j（A≠Vκ。
κ是Woodin基數(shù)，如果κ是強(qiáng)不可訪問的，并且對(duì)于所有a?Vκ是基數(shù)κa＜κ，使得κa是η-a強(qiáng)的，對(duì)于所有η，使得κη，η＜κ
?。↘oellner和Woodin，同前：8）。
κ是超容，如果j:V→ M、使得crit（j）=κ和Vj（κ）?M導(dǎo)致κ以下存在任意大的Woodin基數(shù)（同前）。
大基數(shù)公理可以定義如下。
?xΦ是一個(gè)大型基數(shù)公理，因?yàn)椋?p> （i）Φx是一個(gè)∑2-公式，其中'一個(gè)句子是∑2-條件，如果它是
形式：存在一個(gè)序數(shù)α使得Vα?ψ，對(duì)于某個(gè)句子ψ'（Woodin，2019）；
?。╥i）如果κ是基數(shù)，使得V|=Φ（κ），則κ是強(qiáng)不可訪問的；
（iii）對(duì)于所有的一般偏序P∈Vκ，VP|=Φ（κ）；INS是非平穩(wěn)的完美的AG是L（R）中實(shí)數(shù)的正則表示，即解釋M[G]中的A；H（κ）由其傳遞閉包為＜κ（參見Woodin，2001:569）；和L（R）Pmax|=?H（ω2），∈，INS，AG?|=“ξ”。
P是L（R）中的齊次偏序，使得L（RP繼承了L（R）的一般不變性，即絕對(duì)性。
因此，L（R）最大功率是（i）有效完備的，即在集強(qiáng)制擴(kuò)展下不變；和（ii）極大，即滿足所有的π2-條件，因此通過集強(qiáng)制一致
地面模型（Woodin，ms:28）。
假設(shè)ZFC，并且存在一個(gè)適當(dāng)?shù)腤oodin基數(shù)類；A∈P（R）ΓL（R）；Γ是一個(gè)π2-項(xiàng)；和V（G），s.t.?HZ（ω2），∈，INS，AG?|=“ξ”：那么，可以證明L（R）Pmax|=?H（ω2），∈，INS，AG?|=“ξ”，其中“?！保?A∈?！轍（ω1），∈，A |=ψ。
確定性公理（AD）指出，每一組實(shí)數(shù)，一個(gè)?ωω是決定Woodin（1999）的Axiom（*）可以這樣支持：
ADL（R）和L[（Pω，
由此可以導(dǎo)出2?0=?2.
因此，CH；因此CH是絕對(duì)可以決定。
在最近的工作中，Woodin（2019）提供了證據(jù)，證明CH可能對(duì)比，是真的。
CH的真相將從Woodin的真相中走出來
終極L猜想。
以下定義來自Woodin（同前）：
'傳遞類是一個(gè)內(nèi)部模型，如果[，對(duì)于序數(shù)Ord的類，-HK]
Ord?M和M?ZFC’。
L、可構(gòu)造實(shí)和HOD，可遺傳有序可定義集合是內(nèi)部模型假設(shè)N是一個(gè)內(nèi)部模型[a]是V的不可數(shù)（正則）基數(shù)。
N具有[a]-覆蓋性質(zhì)，如果所有的σ?N，如果|σ|＜[a]，則存在τ∈N使得：σ?τ和|τ|＜[a]。
N具有[a]-近似性質(zhì)，如果對(duì)于所有集合X?N
等價(jià)：（i）X∈N和（ii）對(duì)于所有σ∈N，如果|σ|＜[a]，則σ∈X∈N。
假設(shè)N是一個(gè)內(nèi)部模型，并且σ?N。
那么N[σ]表示最小的內(nèi)部模型，
使得N?M和σ∈M。
假設(shè)N是一個(gè)內(nèi)部模型，[a]是強(qiáng)烈不可訪問。
則N具有[a]-泛型性質(zhì)，如果對(duì)于所有σ?[a]，
如果|σ|＜[a]，則N[σ]≠Va是N∈Va的Cohen擴(kuò)張=Ultimate-L則表示'（i）存在一類適當(dāng)?shù)腤oodin基數(shù)，和（ii）對(duì)于每一個(gè)∑2-項(xiàng)ξ，如果Γ在V中成立，則存在普遍的Baire
集合A?R使得HODL（A，R）?拓?fù)淇臻g?并且對(duì)于所有連續(xù)函數(shù)π：?→ R
n、原像
π對(duì)A在空間中具有Baire性質(zhì)?’. Baire的財(cái)產(chǎn)
如果，對(duì)于拓?fù)淇臻ga?X的子集，存在這樣的開集U \8838X
其中，U是一個(gè)極小子集，其中，是對(duì)稱差，即相對(duì)補(bǔ)的并集，并且拓?fù)淇臻g的子集是貧乏的，如果它是無處稠密集的可數(shù)并集，其中的無處稠密子集如果它們與開集的并集不是稠密的，則拓?fù)涑闪ⅰ?p> 終極-L猜想如下：“假設(shè)[a]是一個(gè)可擴(kuò)展基數(shù)。
[a]是一個(gè)可擴(kuò)展基數(shù)如果對(duì)于每個(gè)λ＞[a]存在一個(gè)初等嵌入j:Vλ+1→ Vj（λ）+1使得CRT（j）=[a]并且j（[a]）＞λ。
然后可以證明是內(nèi)部模型N，使得：1。
N具有[a]-覆蓋和[a]-近似屬性。
2.N具有[a]-泛型性質(zhì)。
3.N?'V=最終-L“（Woodin，同前）。
2.3?-思維方式
對(duì)于偏序，P，設(shè)VP=VB，其中B是（P）.8 Ma=（Va）M和MBa=（VB一)M=（VMB一)。
Sent表示一組句子在集合論的一階語言中。T?｛ξ｝是一組擴(kuò)展的句子ZFC。
c.t.m縮寫了可數(shù)傳遞性∈-模型的概念。c.B.a。
縮寫了完全布爾代數(shù)的概念。
在V中定義c.B.a.，這樣VB.讓VB0=?；VBλ=b＜λVBb，其中λa極限序數(shù)；VBa+1＝｛f:X→ B|X?VBa}；和VB=a∈OnVB一。
ξ在VB中為真，如果其布爾值為1B，當(dāng)且僅當(dāng)VB|=B=1B。
因此，對(duì)于所有序數(shù)，a和每個(gè)c.B.a.B，VBa≠（Va）
五、B所有x∈VB的iff，y∈VBx=yB=1Biff x∈VBB=1B。
然后，VBa|=Γiff VB|=“Va|=ξ”。
?-則邏輯有效性可以定義如下：
對(duì)于T?｛ξ｝?Sent，
T|=?如果對(duì)于所有序數(shù)，a和c.B.a.B，如果VB一|=T，然后VB一|=ξ。
假設(shè)存在一類適當(dāng)?shù)腤oodin基數(shù)，并且如果T?｛ξ｝?Sent，則對(duì)于所有設(shè)置的強(qiáng)制條件，P:
T|=?Γiff VT|='T|=?ξ’，
其中T|=?Γlect?|='T|=?ξ’。
這個(gè)?-猜想指出V|=?ξiff VB|=?ξ（Woodin，ms）。
因此?-邏輯有效性在中的地面模型的所有集強(qiáng)制擴(kuò)展中是不變的
集合論宇宙。
?-邏輯是由普遍的拜爾實(shí)數(shù)集定義的。
對(duì)于一個(gè)基數(shù)，e，設(shè)集合a是e-泛Baire，如果對(duì)于所有偏序P基數(shù)e，ωXλ上存在樹S和T，使得A=p[T]并且如果G?P是泛型的，則P[T]G=RG–p[S]G（Koellner，2013）。
A是普遍的Baire，如果它是e-universally Baire for all e（同前）。
?-邏輯是健全的，因此V???→ V|=?。
然而，完整性屬于?-邏輯尚未解決。
最后，在范疇理論中，范疇C由為每對(duì)對(duì)象C（a，B）對(duì)象一組箭頭（Venema，2007:421）。
范疇C到范疇D的函子，E:C→ D、是操作映射對(duì)象和C的箭頭到對(duì)象和D的箭頭（422）。
上的一個(gè)內(nèi)函子C是函子，E:C→ C（同前）。
E-余代數(shù)是一對(duì)A=（A，μ），其中A是C的對(duì)象，稱為A的載體，和μ:A→ E（A）是C中的箭頭，稱為過渡
A的地圖（390）。
A=?A，μ：A→ E（A）?是函子上代數(shù)范疇的對(duì)偶μ（417-418）。
如果μ是集合范疇上的函子，則余代數(shù)模型是對(duì)偶到布爾代數(shù)模型?-邏輯有效性。
上述內(nèi)容的意義在于，代數(shù)模型本身可能以便定義模態(tài)邏輯和自動(dòng)機(jī)。
Coalgebras提供。
因此，集合論的布爾值模型的配置文件?-邏輯有效性，并且自動(dòng)機(jī)可以相互定義。
在下文中，A將包括余代數(shù)模型——對(duì)偶到完全布爾值定義在?-ZFC的邏輯——其中模態(tài)相似類型和自動(dòng)機(jī)是可定義的。
作為模態(tài)邏輯的一個(gè)代數(shù)模型，a可以定義為如下（407）：
對(duì)于一組公式，Φ，設(shè)?Φ：=□Φ∧Φ，其中Φ表示設(shè){?ξ|?！师担ㄍ埃?。
然后，?ξlect?{Γ，T}，
□Γlect??∧?Γ（同前）
?Φ＝{w∈w|R[w]?{Γ|?！师祡和?ξ∈|Β，ΓξR[w]?=?}
?。ǚ降?，2010:17）。
設(shè)一個(gè)E-余代數(shù)模態(tài)模型，A=?S，λ，R[.]?，其中λ（S）是命題字母的選擇在s中的s為真，并且R[s]是s的后繼集
在S'中，使得S，S??Φ當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于S∈S的所有（一些）后繼σ，[Φ，σ（s）∈E（?A）]（Venema，2007:399407），其中E（⊕A）是滿足關(guān)系?A?S xΦ。
設(shè)函子K為關(guān)系K?K（A）x K（A'）（Venema，2012:17））。
設(shè)Z為二元關(guān)系s.t.Z?A x A'和?Z??（A） x?（A'），帶有?Z:＝{（X，X'）|?X∈X?X'∈X'與（X，X'）∈Z∧（同前）。
然后，我們可以定義關(guān)系提升，K！，如下所示：
K:={[（π，X），（π'，X'）]|π=π'和（X，X'?Z}（Venema，2012:17）。
因此可以定義確定性自動(dòng)機(jī)的代數(shù)模型（Venema，2007:391）。
自動(dòng)機(jī)是一個(gè)元組，a=?a，aI，C，?， F?，使得A是自動(dòng)機(jī)A的狀態(tài)空間；aI∈A是自動(dòng)機(jī)的初始狀態(tài)；C是自動(dòng)機(jī)字母表的編碼，將數(shù)字映射到自然數(shù)；?: A X C→ A是一個(gè)轉(zhuǎn)換函數(shù)，F(xiàn)?A是容許狀態(tài)的集合，其中F將A映射到{1，0}，使得F:A→ 1如果a∈F和a→如果a∈/F為0（同前）。
代數(shù)自動(dòng)機(jī)的確定性其范疇與滿足?-邏輯結(jié)果，是由Woodin基數(shù)的存在所保證的：假設(shè)ZFC，則λ是Woodin基數(shù)的極限，即存在一個(gè)通用的集強(qiáng)制擴(kuò)展G?ω＜λ的坍縮，并且R*=｛RG[a]|a＜λ}，則R*|=確定性（AD）（Koellner和Woodin，同前：10）。
模態(tài)自動(dòng)機(jī)是在模態(tài)一步語言上定義的（Venema，2020：7.2）.當(dāng)A是命題變量的集合時(shí)，格的集合Latt（X）
X上的項(xiàng)具有以下語法：
π：：=?|?|x|π∧，其中x∈x和π∈Latt（A）（同前）。
模態(tài)一步公式在A上的集合1ML（A）具有以下g馬爾：
α∈A:：=?|?|?π|□π|α∧α|α?α（同前）。
模態(tài)P自動(dòng)機(jī)A是三元組（A，θ，aI），其中A是非空有限一組狀態(tài)，aI∈A，一個(gè)初始狀態(tài)，和過渡映射θ：A x?P→ 1ML（A）將狀態(tài)映射到模態(tài)一步公式，具有?P命題字母，P（同前：7.3）。
最后，A=?A，α：A→ E（A）?是代數(shù)范疇的對(duì)偶函子α（417-418）。
對(duì)于范疇C、對(duì)象a和內(nèi)函子E，定義新箭頭，α，s.t.α：EA→ A.可以進(jìn)一步定義同態(tài)f在代數(shù)?A，α?和\10216\ B，β\10217之間。
那么，對(duì)于代數(shù)的范疇可以定義以下交換平方：（i）EA→ EB（Ef）；（ii）EA→ A.
?。é粒?；（iii）EB→ B（β）；和（iv）A→ B（f）（參見Hughes，2001:7-8）。
還是一樣余代數(shù)范疇的交換平方成立，使得后者通過反轉(zhuǎn)（ii）[A中態(tài)射的方向來定義→ EA（α）]和（iii）[B→ EB（β）]（同前）。
因此，A是模態(tài)、確定性自動(dòng)機(jī)、對(duì)偶的代數(shù)范疇到的完全布爾值代數(shù)模型?-定義的邏輯有效性。
在集合的范疇中
Leach-Krouse（ms）定義了?-結(jié)果令人滿意
以下公理：
對(duì)于一個(gè)理論T和□ξ：=TBα?ZFC? TBα，
ZFC? ZFC?□?
ZFC?□（→ψ）→(□?→□ψ）
ZFC?□→ZFC
ZFC?□→□□?
ZFC?□(□?→ξ）→□?
□(□?→ψ）∧□(□ψ∧ψ→Γ），其中添加到GL的該條款是邏輯
在ZFC中“所有Vκ為真，所有κ強(qiáng)不可訪問”。
3討論
本節(jié)探討了莫代爾-哥爾布雷克的哲學(xué)意義tomata和它們所對(duì)應(yīng)的集合論語言的布爾值模型是雙重的。
我認(rèn)為，類似于二階邏輯結(jié)果，（I）的“數(shù)學(xué)糾纏”?-邏輯有效性不會(huì)破壞其sta作為純粹邏輯關(guān)系的tus；以及（ii）模態(tài)剖面和模型的理論表征?-邏輯后果為其情節(jié)提供了指導(dǎo)因此，我認(rèn)為有幾個(gè)考慮因素贊成集合概念的解釋是構(gòu)成性的涉及模態(tài)概念。
語氣詞范疇的作用istic自動(dòng)機(jī)在（i）表征?-邏輯結(jié)果，以及（ii）構(gòu)成了該概念的形式理解條件集合的概念，為累積的現(xiàn)實(shí)主義概念提供了支持等級(jí)制度。
3.1?-邏輯有效性是真正合乎邏輯的
Frege（1884/1980；1893/2013）的建議——基數(shù)可以是通過指定的同一性和等價(jià)性之間的雙條件來說明概念上的關(guān)系，可以用二階邏輯的特征來表達(dá)——是第一次嘗試在邏輯的基礎(chǔ)上為數(shù)學(xué)提供基礎(chǔ)公理而非理性或經(jīng)驗(yàn)直覺。
在弗雷格（1884/1980。引用：68）和Wright（1983:104-105），概念A(yù)的數(shù)量被認(rèn)為是與概念的數(shù)量B相同，當(dāng)且僅當(dāng)存在一對(duì)一A和B之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即存在來自A的雙射映射R對(duì)于Nx：一個(gè)數(shù)值項(xiàng)形成算子，?A→?y（通過∧Rxy∧?z（Bz∧Rxz→y=z）]∧?y[By→?x（Ax∧Rxy∧?z（Az∧→ x＝z））]]]。
Frege定理指出
算術(shù)可以從前面的抽象原理推導(dǎo)出來，作為擴(kuò)充到二階邏輯和恒等式的簽名。
11因此，如果二階邏輯可以算作純邏輯，盡管二階模型的域可以通過冪集運(yùn)算來定義，那么哲學(xué)的一個(gè)方面抽象主義程序的意義在于它提供了一個(gè)基礎(chǔ)，關(guān)于以非增廣的純邏輯為基礎(chǔ)的經(jīng)典數(shù)學(xué)抽象原理所表達(dá)的邏輯隱含定義。
ZFC中定義的邏輯可能至少有三個(gè)原因不破壞其后果關(guān)系的邏輯地位。
第一個(gè)數(shù)學(xué)糾纏的原因?-邏輯有效性可能是無傷大雅的是，正如夏皮羅（1991:5.1.4）所指出的，許多數(shù)學(xué)性質(zhì)不能在一階邏輯中定義，而是需要表達(dá)式二階邏輯資源。
例如，良好基礎(chǔ)的概念不能在一階框架中表達(dá)，如對(duì)緊湊性。
設(shè)E為二元關(guān)系。
如果不存在無限序列，a0，ai，使得Ea0，Eai+1都是真的。
如果m是有充分基礎(chǔ)的，那么就不存在無限個(gè)下降的E鏈。
認(rèn)為T是包含m的一階理論，對(duì)于所有自然數(shù)，n，存在具有n+1個(gè)元素a0…的T，an，使得a0，a1an，an?1?是E的擴(kuò)張。
通過緊致性，存在一個(gè)無限序列，這樣那a0。
ai，s.t.Ea0，Eai+1都是真的。
因此，m沒有充分的依據(jù)。
然而，相比之下，良好的基礎(chǔ)可以用二階表達(dá)式來表示
框架：
X→?x[Xx∧?y（Xy→ Eyx）]]，使得m是有充分根據(jù)的iff
每個(gè)非空子集X都有一個(gè)元素X，s.t。
X中沒有任何元素與E到X有關(guān)。
有根據(jù)的哲學(xué)意義的一個(gè)方面是
當(dāng)成員關(guān)系在給定的模型中使用。
這與Putnam（1980）的權(quán)利要求形成對(duì)比，一階模型mod是可以預(yù)期的，如果mod中的每個(gè)實(shí)數(shù)集s都是這樣的
mod中的ω-模型包含s并且是可構(gòu)造的，使得-給定Downward Lowenheim-Skolem理論12——如果mod是不可構(gòu)造的，但具有滿足“s”的子模型是可構(gòu)造的，則該模型是不成立的。
而且必須是有意的。
索賠取決于以下假設(shè)：
理解意圖的條件和條件必須是共同廣泛的，我將在第4.2節(jié)中返回
第二個(gè)原因?-邏輯的數(shù)學(xué)糾纏可能不是錯(cuò)誤的，使得?-邏輯可能是真正合乎邏輯的，可以通過與二階的比較再次得到贊賞。
思維方式Shapiro（1998）定義了邏輯的模型理論表征
結(jié)果如下：
?。?0）Φ是[模型]Γ的邏輯結(jié)果，如果Φ在所有可能性中都成立在Γ’（148）中的非邏輯術(shù)語的每一種解釋下。
上述條件稱為“同構(gòu)性質(zhì)”，
根據(jù)“如果兩個(gè)模型M，M”相對(duì)于非邏輯的同構(gòu)，則M滿足Φ當(dāng)且僅當(dāng)M'滿足Φ'（151）。
夏皮羅認(rèn)為，結(jié)果關(guān)系指定使用第二秩序資源是合乎邏輯的，因?yàn)樗哂心B(tài)和認(rèn)知特征。
這個(gè)二階有效性的認(rèn)知可處理性在于“典型健全性”orems，其中表明給定的演繹系統(tǒng)是保真的’（154）。
他寫道：“如果我們知道一個(gè)模型是一個(gè)很好的數(shù)學(xué)模型邏輯結(jié)果（10），那么我們就知道使用聲音不會(huì)出錯(cuò)
演繹系統(tǒng)。
此外，我們可以知道，爭論是一個(gè)合乎邏輯的結(jié)果…通過元理論中的集合論證明”（154-155）。
二階有效性的模態(tài)輪廓提供了第二種交流方式計(jì)算財(cái)產(chǎn)在認(rèn)識(shí)上的易處理性。
例如，夏皮羅認(rèn)為：“如果同構(gòu)性質(zhì)成立，則在評(píng)價(jià)句子和論點(diǎn)時(shí)，我們唯一需要“改變”的“可能性”就是宇宙的大小。
如果尺寸足夠在模型的宇宙中表示，那么邏輯con的模態(tài)性質(zhì)序列將被注冊。
[T]我們唯一保留的“模態(tài)”是“可能的大小”，
其被歸入集合論元理論’（152）。
夏皮羅關(guān)于支持邏輯的考慮因素的評(píng)論非有效二階有效性的cality推廣到?-邏輯有效性。
在里面上一節(jié)?-邏輯有效性由代數(shù)模態(tài)邏輯范疇A與完備范疇的對(duì)偶性的布爾值代數(shù)模型?-思維方式正如夏皮羅對(duì)原木的定義ical結(jié)果，其中Φ在模型宇宙中的所有可能性中成立。
可能性涉及集合論元理論中的“可能大小”，這個(gè)?-猜想指出V|=?ξiff VB|=?ξ，使得?-邏輯有效性在集合論中地面模型的所有集強(qiáng)迫擴(kuò)展中是不變的宇宙。
最后?-邏輯有效性是安全的，兩者都一樣夏皮羅對(duì)二階邏輯后果的描述——通過其合理性，但也由于它是確定性自動(dòng)機(jī)的coargebraic范疇的對(duì)偶，其中Woodin的存在再次保證了其確定性大基數(shù)。
3.2意圖與集合的概念
最后，在本節(jié)中，我認(rèn)為?-可以利用邏輯以說明集合概念的理解條件。
Putnam（同前：473-474）認(rèn)為，定義一階理論的模型足以理解和說明預(yù)期的解釋后者。
相比之下，Wright（1985:124-125）認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的條件不能被其理論，甚至基于對(duì)這些理論的預(yù)期解釋。
他例如，建議：
“如果真的有不可計(jì)數(shù)的集合，那么它們的存在肯定是必須的流從集合的概念，直觀地令人滿意地解釋。
這里，那里在我看來，沒有任何假設(shè)ZF公理的內(nèi)容不能超過在所有經(jīng)典模型下不變的。[Banacerraf]寫道，
例如：“他們有自己的‘預(yù)期解釋’：‘∈’是指集合成員身份。即便如此，并被認(rèn)為是對(duì)直覺的編碼在集合的概念中，它們不包含不可數(shù)集合的存在性。
那么怎么能確實(shí)存在這樣的集合？Benacerraf的回答是ZF公理是除了確保
“∈”表示集合成員關(guān)系，我們對(duì)它們進(jìn)行解釋以觀察約束“通用量詞必須表示所有或至少所有集合”（第103頁）。
當(dāng)然，如果集合的概念確實(shí)決定了背景，坎托定理在其預(yù)期的解釋下是健全的，集合的概念可以用“∈”的意圖意義和ZF公理成立的規(guī)定。
殘留物大概包含在非正式的解釋中，貝納瑟拉夫提醒我們，澤梅洛有意用他的形式化回答。
至少'假設(shè)對(duì)角化引理成立，使得F?Q??A（?Q?）。
對(duì)于第一個(gè)不完全性定理，應(yīng)用對(duì)角化引理對(duì)可證明性謂詞-ProvF（x）的否定，產(chǎn)生如下低沉的句子：
'（Z）F?MF?? ProvF（?MF）。
“假設(shè)MF是可證明的。
通過可證明性的弱可表示性在ProvF（x）的in-F中，F(xiàn)也將證明Prov F（MF）。
因?yàn)镕證明了Z——即。
F?MF?? ProvF（?MF?）–F將證明-MF。
所以F是不一致的因此，如果F是一致的，那么MF在F中是不可證明的。
'假設(shè)F是ω-一致的。
那么，假設(shè)F?-MF。然后F不能證明MF，因?yàn)樗鼘⑹铅?不一致的。
因此數(shù)n是MF的一個(gè)證明的哥德爾數(shù)。
因?yàn)樽C明關(guān)系是強(qiáng)可表示的，對(duì)于所有n，F(xiàn)?-PrfF（n，?MF）。
如果F?xPerfF（x，MF），F(xiàn)是不ω-一致的。
因此，F(xiàn)不證明?xPerfF（x，?MF），即F不能證明ProvF（?MF）。
根據(jù)（Z）中記錄的等價(jià)性，F(xiàn)不能證明-MF。
對(duì)于第二個(gè)不完全性定理：假設(shè)一致性Con（F），定義為？ProvF（??），其中?表示一個(gè)不一致的公式，如0=1。
形式化F中第一不完全性定理的證明得到F?缺點(diǎn)（F）→ MF。
如果Cons（F）在F中是可證明的，那么MF也是。假設(shè)F?MF??缺點(diǎn)（F）。
因此，考慮到第一個(gè)不完全性，Cons（F）是不可證明的定理。
在上文中，編碼的選擇橋接了語言中的數(shù)字具有目標(biāo)數(shù)字的屬性。
因此，編碼的選擇內(nèi)涵，并已被整理，以論證這一概念。
句法可計(jì)算性&通過部分遞歸函數(shù)的等價(jià)類離散狀態(tài)自動(dòng)機(jī)的項(xiàng)、λ可定義項(xiàng)和轉(zhuǎn)移函數(shù)，如圖靈機(jī)——是組成語義的（參見Rescorla，2015）。
毛皮在自我現(xiàn)象中可以看到內(nèi)涵的其他點(diǎn)Reinhardt（1986）介紹了算術(shù)中的參考文獻(xiàn)。
萊因哈特（op。引用：470-472）認(rèn)為可證明性謂詞可以相對(duì)于特定特工的頭腦——類似于奎因（1968）和劉易斯（1979）建議通過相對(duì)于pa定義可能的世界來集中它們范圍在時(shí)空坐標(biāo)元組或代理和位置上的參數(shù)——并且可以為上述思想和可計(jì)算系統(tǒng)的概念。
第二點(diǎn)，在這一點(diǎn)上，可以證明理解條件是一致的認(rèn)識(shí)權(quán)的條件可以見證制度模態(tài)假設(shè)哥德爾的第二不完全性orem被證明是一致的（參見Dummett，1963/1978；Wright，1985）。
Wright（同前：91，fn。9）建議“將證明視為建立一致性”是含蓄地排除任何疑問。關(guān)于一階num的一致性ber理論。
賴特對(duì)認(rèn)識(shí)權(quán)利概念的闡述。
他認(rèn)為，理性“信任”的概念是通過計(jì)算決策理論背景下的“預(yù)期認(rèn)知效用”（2004；2014:226，241）。
Wright指出，服從于認(rèn)知權(quán)利的理性信任將要?jiǎng)?wù)實(shí)，并提出一個(gè)有趣的觀點(diǎn)，即“務(wù)實(shí)的原因不是一種特殊的理性類型，與例如認(rèn)知的、謹(jǐn)慎的和道德原因”（2012:484）。
然而，至關(guān)重要的是，預(yù)期事件的想法決策理論背景下的temic效用對(duì)概念產(chǎn)生了隱含的吸引力。
在可能的世界中，后者可以再次由代數(shù)決定模態(tài)自動(dòng)機(jī)的邏輯。
第三個(gè)考慮援引有利于把握事實(shí)的思想集合的概念可能構(gòu)成性地具有模態(tài)輪廓，即概念可以是定義為一種內(nèi)涵，即從可能的世界到延伸的功能。
這個(gè)然后可以將coargebraic模態(tài)邏輯中的模態(tài)相似類型解釋為動(dòng)態(tài)解釋模態(tài)，其中有人認(rèn)為，運(yùn)營商可能會(huì)對(duì)該理論的量詞的領(lǐng)域（參見Fine，20052006），以及諸如隸屬關(guān)系之類的非邏輯概念的張力（參見Uzquiano，2015）。
16第四個(gè)考慮直接利用了?-必然的結(jié)果雖然上述動(dòng)態(tài)解釋模式就足夠了對(duì)于數(shù)學(xué)術(shù)語的可能的重新解釋后果關(guān)系是這樣的，如果?-那么猜想是真的?-必然的。
有效性在地面模型的所有可能集強(qiáng)制擴(kuò)展中都是不變的集合論宇宙。
真相?-由此推測正式理解內(nèi)涵的不可撤銷的必要條件集合的概念。
4結(jié)束語
在這篇文章中，我考察了二元性的哲學(xué)意義自動(dòng)機(jī)與布爾值代數(shù)模的模態(tài)間余代數(shù)模型模態(tài)的els?-思維方式我認(rèn)為——就像第二種有效性的性質(zhì)一樣訂單邏輯-?-邏輯有效性是真正合乎邏輯的。
然后，我爭辯說煤代數(shù)確定性自動(dòng)機(jī)，其特征是?-邏輯結(jié)果，是數(shù)學(xué)解釋的組成部分成員關(guān)系等概念。
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