第八章：間接路線
走進(jìn)會(huì)議室時(shí)，孟仞回想起了自己的考研復(fù)試。那時(shí)面試也是在一間會(huì)議室里進(jìn)行，他在長(zhǎng)桌的一頭，學(xué)院的老師們坐在桌子兩側(cè)，一個(gè)又一個(gè)的問題問得他滿頭是汗?，F(xiàn)在這間會(huì)議室中間沒有長(zhǎng)桌，倒是在四周各擺了幾張幾案。孟仞恭恭敬敬地站在東面的幾案前，沒有資格落座；西面正對(duì)著他的是館首、匡先生和周先生；南北兩側(cè)各坐著兩個(gè)導(dǎo)師，孟仞都不認(rèn)識(shí)，不過南側(cè)靠近他的導(dǎo)師發(fā)言之后，孟仞聽出那正是顏笙的聲音。
“考核現(xiàn)在開始。”顏笙說道，舉起案上的一把小錘，敲了一下擺在她面前的一尊約莫一尺高的銅鐘。她沒有馬上接著說下面的話，而是等鐘聲完全消失之后才開口：“本次考核采用投票制，四人及以上同意通過即視為考核通過。學(xué)徒孟仞，闡述你未來的研究計(jì)劃?！?p> 孟仞朝各位導(dǎo)師依次施禮，禮畢之后又說了幾句場(chǎng)面話充作開場(chǎng)白。這一通繁文縟節(jié)終于結(jié)束之后，孟仞微微一笑，開始了他的正式陳述。
“腦理學(xué)是一門實(shí)驗(yàn)學(xué)科，其一大根基是數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)。然而現(xiàn)在的統(tǒng)計(jì)方法，卻充滿了謬誤。”
這個(gè)世界的腦理學(xué)固然落后了他半個(gè)多世紀(jì)，但是更可怕的是數(shù)學(xué)，他們竟然連微積分都還沒發(fā)展出來。好多學(xué)科因?yàn)槿狈?shù)學(xué)工具而舉步維艱，腦理學(xué)能發(fā)展到今天，也是仰仗了其不太依靠數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。不夠數(shù)學(xué)化，這原本是一大劣勢(shì)，如今反倒成了優(yōu)勢(shì)。
沒有微積分，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的許多內(nèi)容也就無從談起，甚至連方差和標(biāo)準(zhǔn)差都沒有人提出。
“設(shè)想這樣一個(gè)場(chǎng)景，一群人做一個(gè)智力測(cè)試，平均分?jǐn)?shù)是一百零五分，我們?cè)趺磁袛噙@群人的分?jǐn)?shù)是否比一百分更高？只看平均數(shù)的話，當(dāng)然可以對(duì)這個(gè)問題回答‘是’，但是如果有一些人的分?jǐn)?shù)低于一百分呢？這些人怎么算？”
坐在北側(cè)的一個(gè)導(dǎo)師打斷他道：“這些我們都知道，說重點(diǎn)?！?p> “晚輩正要說到重點(diǎn)。我們會(huì)計(jì)算這些人的分?jǐn)?shù)距離平均數(shù)的差值的平均值，如果平均數(shù)減去平均差仍然高于一百分，我們就認(rèn)為這群人的分?jǐn)?shù)高于一百分。但我想說的是，這種統(tǒng)計(jì)方法是有很大漏洞的?！?p> “說出你的理由。”
“要減去平均差，是因?yàn)槲覀儞?dān)心這群人的分?jǐn)?shù)是偶然高于一百分。如果再測(cè)一次，說不定分?jǐn)?shù)又掉到一百分以下了。這個(gè)想法固然沒錯(cuò)，但是不知諸位先生是否想過，假設(shè)測(cè)試的次數(shù)足夠多，而且每次測(cè)試互不影響的話，這些測(cè)試的平均分應(yīng)當(dāng)是一個(gè)什么分布？”
在場(chǎng)的幾位導(dǎo)師思維都頗為敏銳，一條鐘形曲線在他們的腦中迅速成形。待他們竊竊私語一陣之后，孟仞自己拋出了解答：“顯然，大部分的分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)聚集在他們的真實(shí)水平周圍，剩下的分?jǐn)?shù)散落在離真實(shí)水平較遠(yuǎn)的地方，并且越遠(yuǎn)頻率就會(huì)越低。我要提出的研究計(jì)劃之一，是求出這個(gè)分布的表達(dá)式，也就是分?jǐn)?shù)出現(xiàn)的頻率和分?jǐn)?shù)的關(guān)系。”
顏笙語氣溫和地問道：“你的意思是，只要取樣次數(shù)足夠多，這些樣本的平均值會(huì)滿足同一個(gè)分布？”
孟仞答道：“正是?！?p> 匡先生說道：“這么快就要推廣到所有情況？不覺得這太武斷了嗎？”
“不，對(duì)此我很有把握。只要每次抽樣都是獨(dú)立同分布，那么樣本平均值的分布一定是一條鐘形曲線?！?p> 導(dǎo)師們似乎忘記了這是一場(chǎng)考核，圍繞孟仞的觀點(diǎn)爭(zhēng)論了起來，就連周先生也被吸引進(jìn)去，發(fā)表了幾句自己的看法。這幾位搞腦理學(xué)的學(xué)者數(shù)學(xué)水平其實(shí)都不高，他們的爭(zhēng)論完全是基于直覺，饒是如此，仍然有人提出了更加接近本質(zhì)的看法。館首說道：“我看不止是平均值，其他的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)恐怕也會(huì)趨于一個(gè)鐘形的分布?！?p> 不愧是館首。孟仞暗自贊嘆道。
還沒轉(zhuǎn)過彎來的幾個(gè)學(xué)者并不因?yàn)樗丘^首就買他的賬，依然認(rèn)為這種看法過于武斷。最后，匡先生終于向孟仞提出了直擊靈魂的拷問：
“怎么證明呢？”
雖然孟仞自詡數(shù)學(xué)水平還行，有把握花上個(gè)把月時(shí)間把剛剛講的中心極限定理證明出來，但要讓他現(xiàn)場(chǎng)推演，卻是高估了他的數(shù)學(xué)能力。不過他早已預(yù)備了另一手：“要做出證明，還需預(yù)備一些引理，晚輩今日恐怕無法在現(xiàn)場(chǎng)給出完整的過程?！?p> 館首打圓場(chǎng)道：“既是研究計(jì)劃，想必還沒有完成，也不強(qiáng)求能在今日得到完整的證明了。不過必須要說明的是，你的數(shù)學(xué)直覺還是不錯(cuò)的?！逼渌艘泊蠖假澰S地點(diǎn)頭。周先生譏諷了一句：“我看倒不如把他轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)館去。”但是并沒有人理他。
“再說說你的引理?！笨锵壬f道。
“單純稱其為引理的話，諸位先生恐怕很難看出這條引理能用在證明的什么地方，晚輩也很難講清楚。這樣吧，我們?cè)O(shè)想一個(gè)應(yīng)用場(chǎng)景：假設(shè)這條鐘形曲線確實(shí)是正確的，那么曲線下面包圍的面積代表什么呢？顯然是總的概率。如果一群人做智力測(cè)驗(yàn)的平均分是一百零五分，平均差是五分，那么重新進(jìn)行測(cè)試，他們的分?jǐn)?shù)掉到一百分以下的概率是多少？”
眾人啞然。
“現(xiàn)有的統(tǒng)計(jì)方法根本就沒有在意這個(gè)概率，當(dāng)然也不知道應(yīng)該怎么計(jì)算這個(gè)概率——因此我才會(huì)說現(xiàn)在的統(tǒng)計(jì)方法有很大的漏洞。這也就是我要提出的研究計(jì)劃之二：得出計(jì)算曲線下面積的通用方法?！?p> 顏笙評(píng)論道：“感覺可以用跟‘割圓術(shù)’類似的方法?！?p> 孟仞本來也不想直接提牛頓-萊布尼茨公式，因?yàn)樗浟藨?yīng)該怎么證明。見顏笙提到了割圓術(shù)，他便順著說了下去：“顏先生說得不錯(cuò)。我們可以把曲線和坐標(biāo)軸圍成的形狀分割成很多個(gè)矩形，只要知道每個(gè)矩形的高度，就能算出整個(gè)形狀的面積。但我要強(qiáng)調(diào)的是，所謂‘很多個(gè)’，指的是無窮多個(gè)，無限細(xì)分之后，我們才能夠算出形狀的準(zhǔn)確面積，而不是估算?！?p> 顏笙旁邊的導(dǎo)師說道：“不管分得多細(xì)，總歸是有誤差的吧。”
孟仞搖頭道：“無窮和有窮是截然不同的。無窮是只能趨近而不能達(dá)到的，當(dāng)細(xì)分的次數(shù)無限趨近無窮時(shí)，矩形的寬度將小于所有的正數(shù)，面積的誤差也將小于所有的正數(shù)。為了方便理解，我們可以將‘小于所有的正數(shù)’理解為‘零’?！?p> “寬度為零，那么面積也為零。無限個(gè)零相加，自然還是零，怎么得到你想要的面積？”
“所以我才強(qiáng)調(diào)說，無窮和有窮是截然不同的。理解為零是為了方便使用，而不是嚴(yán)格的定義。應(yīng)當(dāng)先求和，再取趨向于無窮的極限，而不是先取極限再求和?！?p> 學(xué)者們已經(jīng)被弄糊涂了。理解數(shù)學(xué)語言不是一件簡(jiǎn)單的事情，更何況孟仞為了表達(dá)的簡(jiǎn)潔省略了很多東西。孟仞自己也不是數(shù)學(xué)系的學(xué)生，對(duì)這些定義理解得并不透徹，他感覺要是再被問問題的話，自己就要露怯了，于是趕緊乘勝追擊，沒給他們接著提問的機(jī)會(huì)：
“關(guān)于這一問題，完整的證明也是不好通過口頭表述的。不過，一旦這項(xiàng)引理中的問題得以解決，不僅將對(duì)腦理學(xué)大有助益，而且將對(duì)數(shù)學(xué)中的幾何問題，物理學(xué)中的變力做功問題帶來極大的幫助?！?p> 眾人再度竊竊私語起來。館首從座位上起身，抬起手示意眾人安靜，然后說道：“如果大家沒有意見的話，我們就開始投票?！?p> 匡先生大概是覺得孟仞兩年之內(nèi)發(fā)表兩篇論文不成問題了，說道：“我先投個(gè)贊成票?！?p> 周先生卻咧出一個(gè)笑容道：“先不急著投票吧，在腦理學(xué)館讓學(xué)徒研究數(shù)學(xué)問題，似乎尚無此先例。再說，這個(gè)學(xué)徒我是了解的，根本就沒有多高的才能，今天說不定只是吹噓而已。”