第五十三章 比例切割 算法初成

　　陳東風(fēng)和李爺爺從董明竹家回來后已經(jīng)快10點了。

　　進(jìn)屋后，李爺爺對他說：“這段時間你嬸嬸不容易，她的事情你要多幫幫她?！?p>　　“當(dāng)然，我是他侄子，不幫他幫誰？爺爺你放心。”陳東風(fēng)肯定的說。

　　“那就好，你也知道，這次你文山叔叔去RB治病花了不少錢，光靠兩個人在單位里的幾十塊工資是不夠的。她想經(jīng)商的想法很好，我很支持她?！?p>　　“現(xiàn)在的萬元戶，哪個不是做小生意的？嬸嬸只要敢闖，現(xiàn)在的華國是遍地黃金?！标悥|風(fēng)對董明竹和李文山以后從商也是很看好的。

　　“那就好，我老了，不過還是可以為她跑跑關(guān)系的。好了，你去洗漱吧，早點休息?！?p>　　陳東風(fēng)現(xiàn)在哪里還能輕易睡得這么早，好不容易抓住靈感的尾巴，說什么也不能把他丟了。

　　其實陳東風(fēng)在航模的設(shè)計階段，不怕各種數(shù)學(xué)模型和理論計算。他最討厭的是各種葉輪的工程設(shè)計圖紙的繪制。

　　工程中表達(dá)葉輪表面的方法是投影圖法，通常情況下使用的圓柱坐標(biāo)系中的投影方法是旋轉(zhuǎn)投影以及軸面投影、平面投影。葉輪的軸面投影圖反映了葉輪的總體尺寸和特征，而平面投影相當(dāng)于三視圖里面的俯視圖。需要葉片表面方程：Θ＝（r，z）來一步步畫出空間曲線。就算你畫的再好，到了加工現(xiàn)場加工的時候也是晦澀難懂，需要專門的技術(shù)人員分析出一步步的運(yùn)動指令，效率十分低下。

　　陳東風(fēng)看到了貝塞爾曲線是光滑離散化成一段段的微小的直線段的實質(zhì)，如果可以根據(jù)貝塞爾曲線的特征方程，設(shè)計出一套切實可行的算法——把各種曲率的曲線通過命令來生成，那么既可以簡化設(shè)計中制圖的復(fù)雜程度，也可以根據(jù)曲線各個離散化的坐標(biāo)點反推出數(shù)控加工的路徑。所以如果陳東風(fēng)可以設(shè)計的出來那將是一舉兩得的。

　　70年代現(xiàn)在國際上的流行算法是（以一次方貝塞爾曲線為例）需要在兩個定點A、B之間，在選定特定u的情況下在曲線上找到點C(u)。一個簡單的方法是把u插到每一個基函數(shù)上，計算每個其與基函數(shù)的乘積以及其相應(yīng)的控制頂點，最后將其相加。

　　雖然這種方法很好，但是缺乏數(shù)值穩(wěn)定性，尤其是在計算伯恩斯坦多項式的時候可能引進(jìn)數(shù)值誤差。當(dāng)然算法都是各個CAD軟件的核心，是不會輕易示人的。

　　還有就是一款好的CAD軟件不管是算法重要，它的控制核心也是非常重要，當(dāng)然現(xiàn)在陳東風(fēng)也沒考慮到這些，只是想先把算法設(shè)計出來。

　　陳東風(fēng)也是發(fā)了狠，不設(shè)計出這個算法，連門都懶的出了，過年前的衛(wèi)生也忘記打掃了。好在李爺爺看他鉆研辛虧，毫不計較，盡心盡力的為他做好了后勤工作。

　　終于，陳東風(fēng)在大年三十前把這套他自己命名的比例切割算法給設(shè)計出來了。靈感來自于華國歷史上著名的數(shù)學(xué)家祖沖之的割圓術(shù)，割圓術(shù)目的是等分圓之后取得正多邊形，而他的比例切割是取一個特定的比例來逼近一個特殊的曲線。

　　簡單來講比例切割算法（以一次貝塞爾曲線為例）的基本觀點是選擇在AB中的一個點C，C將AB分為u:1-u(A到C的距離與AB之間的距離之比是u)，讓我們找到?jīng)Q定C在哪里的方法。

　　從A到B的向量是B-A。因為u是在0和1之間的比率，點C位于u(B-A)。將A的位置加以考慮，點C為A+u(B-A)=(1-u)A+uB。因此，對于給定的u，(1-u)A+uB是在A和B之間的點C，將AB分為u:1-u的兩段。

　　更加具有普遍性的比例切割算法的想法如下是假設(shè)我們想要找到C(u)，u在[0，1]中。由第一個多段線P0-P1-P2-P3...-Pn開始，利用上面的法則找到在線段上的點P1i，P1i在P0i到P0(i+1)的連線上并且將這段線分為u:1-u的兩部分。依次地，我們可以得到n個點10，11，12，...，1(n-1)，他們定義了一個新的多段線，一共有n-1段。

　　新點由1i進(jìn)行標(biāo)記，再次利用上面的規(guī)則我們可以得到第二個多段線，具有n-1個點（20，21，...，2(n-2)）和n-2條邊。從這個多段線開始，進(jìn)行第三次，得到新的多段線，由n-2個點30，31，...，3(n-3)和n-3條邊組成。重復(fù)這個過程n次得到一個點n0。

　　以上想法只是給定了比例切割想法的幾何解釋，而實際計算需要一個具體的計算方法。

　　首先，對于每一對臨近的控制點，可以畫出一條右上方和右下方的箭頭（類似于楊輝三角），并且在兩個箭頭的交點處寫下一個新點。例如相鄰的兩個點分別為ij 和i(j+1)，新點是(i+1)j，右下方（相對應(yīng)的左下方）的箭頭表示將其尾數(shù)ij（相對應(yīng)的為i(j+1)）乘以1-u（相對應(yīng)的乘以u），新的點是兩個的和。

　　因此，從初始的第0列開始，我們計算第1列。之后從第1列得到第2列。最終，在n次計算之后我們最終到達(dá)了一個單個的點n0并且這個點就是在曲線上的點。下面的算法總結(jié)了上面我們討論的內(nèi)容，輸入的是具有n+1個點的數(shù)列P和在0到1之間的u，最終得到在貝塞爾曲線上的點C(u)。

　　這個計算過程可以用遞歸的方法表示，對于j=0，1，...，n用P0，j表示Pj，也就是P0，j是第0列的第j項元素，在第i列計算第j項如下：P(i，j)=(1-u)P(i-1，j)+uP(i-1，j+1)，(i=1，2....，n;j=0，1，2...，n-i)

　　元素Pi，j是(1-u)Pi-1，j（左上方元素）和 uPi-1，j+1（左下方元素）的和，最終的結(jié)果（在曲線上的點）是Pn，0.在這種想法的基礎(chǔ)上，通過編程就可以得到基本的算法程序。

　　在這個基本算法的基礎(chǔ)上，陳東風(fēng)還需要對螺旋線、球面螺旋線、雙弧外擺線和星行線、心臟線、圓內(nèi)螺旋線、正弦曲線、太陽線和費馬曲線等等幾百種曲線給出需要選定的控制點數(shù)量和控制比例u。這個工作如果沒有計算機(jī)的幫助的話，估計他這輩子都得耗在這上面了。

　　“好在，通用的算法已經(jīng)計算出來了，可能有迭代算法效率的不高的問題，但是計算機(jī)應(yīng)該可以克服?！标悥|風(fēng)一邊自言自語，一邊站了起來，往窗外一看天快黑了，正好肚子有點餓，把桌子上堆成小山的草稿紙整理下后，就出了房間。